Загадка падающей кошки: почему она всегда приземляется на лапы?

Физик и заядлый кошатник Грегори Гбур написал книгу «Загадка падающей кошки». Как падающим кошкам всегда удается приземлиться на четыре лапы? Удивительно, сколько времени потребовалось ученым, чтобы ответить на этот вопрос! История изучения этой кошачьей способности — почти ровесница самой физики: первая исследовательская работа на тему падающей кошки была опубликована в 1700 г. французом Антуаном Параном, но даже сегодня ученые продолжают находить в ней спорные моменты.

Предлагаем прочитать отрывок из книги.

Итак, Марей открыл, что кошки и — шире — любые нежесткие тела могут менять свою ориентацию в пространстве без необходимости в изменении момента импульса, и этому открытию суждено было повлиять на многие области науки. Но наукой, на которую фотографии Марея подействовали в первую очередь, стала геофизика, где они навели ученых на новые мысли о том, как вращается Земля. Они же, однако, стали причиной постыдного и долгого спора между двумя выдающимися математиками конца XIX в. — Джузеппе Пеано и Вито Вольтеррой, в котором скромной кошке садовника суждено было сыграть видную роль.

Начало этой весьма и весьма бурной публичной схватки восходит к статье Пеано, опубликованной в январском за 1895 г. выпуске итальянского журнала Rivista di Mathematica под заголовком «Принцип площадей и история кошки». (Под принципом площадей подразумевается теорема площадей.) Для начала Пеано кратко описывает хаотическое заседание в Парижской академии и перечисляет объяснения переворачивания падающей кошки, данные присутствовавшими там учеными. После этого он приводит собственное новое объяснение этого невероятного кошачьего умения:

Но объяснение движения кошки представляется мне очень простым. Это животное, оказавшись предоставленным самому себе, описывает хвостом круг в плоскости, перпендикулярной оси тела. В результате, по принципу площадей, остальное тело должно повернуться в направлении, противоположном движению хвоста. Провернувшись на желаемый угол, кошка останавливает хвост, а тем самым и собственное вращательное движение, спасая одновременно суть и принцип площадей.

Короче говоря, Пеано предполагает, что если кошка закрутит свой хвост, как пропеллер, в одном направлении, то ее тело должно будет начать вращение в обратном направлении.

Хвост кошки, однако, весит намного меньше, чем она сама, и это значит, что хвост должен будет сделать не один оборот, чтобы перевернуть тело целиком. Пеано, судя по всему, и сам это понял, поскольку в статье он замечает, что кошка, возможно, делает еще и взмах задними лапами по кругу, чтобы помочь движению.

Это движение хвостом прекрасно видно невооруженным взглядом и столь же ясно просматривается на сделанных фотографиях. В них видно, что передние лапы, притянутые к оси вращения, на это движение не влияют. Задние лапы, вытянутые близ оси поворота, описывают, возможно, конус в том же направлении, что и хвост, и таким образом вносят свой вклад во вращение тела в противоположном направлении. Из этого следует, что бесхвостая кошка переворачивалась бы с гораздо большим трудом. Важное замечание: пробуйте эти вещи только с надежной кошкой!

Рассуждения Пеано очень похожи на объяснение сохранения момента импульса на примере офисного кресла; мало того, в конце своей статьи он почти точно описывает эту идею: а если вы махнете длинной палкой в горизонтальной плоскости, ваше тело повернется в противоположном направлении. Эта палка соответствует кошачьему хвосту.

Пеано дал простое и элегантное объяснение — даже слишком простое и элегантное: почти столетие спустя, в 1989 г., Дж. Э. Фредериксон экспериментально продемонстрировал, что бесхвостая кошка прекрасно умеет переворачиваться, хотя кошки, у которых хвосты имеются, действительно используют их, чтобы помочь процессу. Но объяснение с привлечением хвоста-пропеллера очень характерно для такого математика, как Пеано, для его стиля, эрудиции и интересов.

Джузеппе Пеано (1858–1932), видный математик-исследователь, опубликовал более 200 книг и статей. Он вырос на ферме в итальянской деревне Спинета и начальное образование получил в деревенской школе, где в холодные месяцы учащимся приходилось приносить из дома поленья, чтобы обогревать здание школы во время уроков. Учился Пеано отлично, и рано проявившиеся выдающиеся способности мальчика не остались незамеченными: около 1870 г. его дядя предложил ему пожить у него и поступить на учебу в Турине. Там Пеано посещал известную школу, а после ее окончания в 1876 г. поступил в Туринский университет, где ему суждено было провести всю свою трудовую жизнь. После окончания университета в 1880 г. он стал помощником Анджело Дженокки, заведующего кафедрой дифференциального и интегрального исчисления, и получил право как на преподавание, так и на собственные математические исследования.

Именно во время работы под руководством Дженокки мы видим в Пеано первые предвестники будущих конфликтов. Судя по всему, он жаждал сделать себе имя. В 1882 г., к примеру, он совершил свое первое значимое математическое открытие: обнаружил ошибку в важной формуле, опубликованной в получившем широкое распространение учебнике по математическому анализу. Пеано хотел исправить формулу, но узнал от Дженокки, что и ошибка, и правильный вариант были уже найдены два года назад, хотя и не опубликованы. За этим последовала переписка между Пеано, Дженокки и первооткрывателем Германом Шварцем, а также некоторыми другими математиками, которая продолжалась несколько лет без особого результата. В 1890 г., когда сообщение об ошибке было наконец выпущено, опубликовал его амбициозный Пеано, а не Шварц .

Еще один пример включает в себя уже прямое столкновение между Дженокки и Пеано. Лекции Дженокки по дифференциальному и интегральному исчислению высоко ценились в университете, и в 1883 г. Пеано попытался уговорить старшего коллегу собрать их в книгу. Дженокки отказался, отговорившись плохим здоровьем, но Пеано сказал, что может сам написать книгу от имени Дженокки. Книга Анджело Дженокки под названием «Дифференциальное исчисление и начала интегрального исчисления» (Calcolo diff erenziale e principii di calcolo integrale) вышла в конце 1884 г. с примечанием: «С добавлениями д-ра Джузеппе Пеано».

Это издание породило, по крайней мере поначалу, небольшой скандал. Пеано не только собрал и скомпилировал лекции Дженокки, но и включил в книгу то, что сам он назвал «важными добавлениями». Эта формулировка производила впечатление одновременно эгоизма и неуважения к человеку, обозначенному в книге как автор. Как может молодой выскочка улучшить работу мастера? Сам Дженокки тоже сначала рассердился, хотя со временем он, кажется, в целом оценил книгу по достоинству. Задним числом можно сказать, что добавления были очень важными.

Несмотря на довольно нахальный подход Пеано к самопродвижению — или, скорее, отчасти благодаря ему — он стремительно двигался по карьерной лестнице и набрал влияние. В 1886 г. Пеано занял второй пост профессора в Королевской военной академии, а в 1890 г. получил пожизненный пост профессора в Турине. Именно в этот период он опубликовал свои самые интересные и важные работы. Одним из величайших его достижений было формулирование того, что мы сегодня называем аксиомами Пеано, — небольшого набора простых утверждений, описывающих все свойства натуральных чисел (0, 1, 2, 3, …). Он также был разработчиком и пропагандистом формального стандартизованного «языка», который можно использовать для формулирования математических утверждений. Этот язык позволяет резко сократить математические доказательства, которые зачастую бывают чрезмерно громоздкими. Нотация Пеано до сих пор используется в почти неизменном виде. В 1890 г. он стал одним из основателей журнала Rivista di Matematica, в котором опубликовал свою первую «кошачью» статью «Принцип площадей и история кошки», а в 1891 г. начал «Стандарты проектов» (Formulario Project), целью которой было создание стандартизованной энциклопедии математики с использованием разработанного им символьного языка.

Еще один образец работы Пеано стоит того, чтобы упомянуть его здесь: это концепция заполняющей пространство кривой. Идею такой кривой представим вопросом: можно ли нарисовать одну-единственную кривую, которая полностью заполняет квадрат? Если говорить о карандаше и бумаге, то мы всегда можем заполнить квадрат, поскольку кончик грифеля имеет конечную толщину. Однако в математике линия — это объект, имеющий длину, но не имеющий ширины, тогда как квадрат имеет и длину, и ширину. Интуитивно нам представляется, что в этом смысле квадрат «больше», чем линия. Мы часто характеризуем это, называя размерности объектов: линия — одномерный объект, а квадрат — двумерный.

К концу XIX в. развитие математики позволило продемонстрировать, что число идеальных точек в линии и квадрате совершенно одинаково. Это значит, в принципе, что квадрат можно заполнить одной непрерывной линией, и именно Пеано первым показал в явном виде, как это сделать. Конструкция, которую он использовал, показана на рисунке, где квадрат заполняется линией, описывающей всё более извилистую траекторию. На первом шаге траектория имеет попросту S-образную форму. В следующей итерации на отдельных участках траектории делаются свои S-образные ответвления, в следующей — ответвления на участках ответвлений и т. д. Пеано сумел строго доказать, что, произведя такую операцию бесконечное число раз, мы получим единую неразрывную линию, проходящую через каждую точку квадрата — мало того, проходящую через каждую точку не по одному разу.

Много позже математики поймут, что Пеано открыл весьма любопытный образец интереснейшего математического объекта — фрактала. Обычные геометрические объекты имеют размерности, задаваемые не дробными числами, — квадрат двумерен, тогда как линия одномерна, — и у каждого объекта это число является, в определенном смысле, мерой того, сколько пространства занимает объект. Фракталы — объекты с дробной размерностью, и это указывает на то, что занимаемое фракталом количество пространства принципиально отличается от количества пространства, занимаемого простыми объектами. К примеру, фрактал с размерностью 1,5 занимает больше пространства, чем линия, но меньше, чем квадрат. Фракталы часто описывают как объекты, которые на любом уровне увеличения выглядят в основном одинаково — примерно как тонкий срез ветки дерева с виду похож на толстый срез ветки. Это самоподобие присутствует и в кривой Пеано. В общем, Пеано в своей необычной конструкции обнаружил необычный фрактал с фрактальной размерностью, равной 2, — не дробный фрактал.

Как мы уже видели, Пеано был амбициозным и изобретательным математиком, которого, как правило, интересовали крупные проекты. Однако он также всегда стремился показать, что серьезные математические инструменты, которыми он пользовался, применимы и к решению реальных практических задач. Обдумав на протяжении некоторого времени проблему падающей кошки, он увидел в ней объяснение одной из геофизических задач, вызывавших в то время большой интерес, — чандлеровского колебания полюсов.

Справка: книга Грегори Гбура «Загадка падающей кошки и фундаментальная физика» (перевод Натальи Лисовой) вышла в издательстве «Альпина нон-фикшн». Ученый увлекательно и остроумно показывает, как попытки понять механику падения кошек помогли разобраться в самых разных задачах в математике, физике, физиологии, неврологии и космической биологии, способствовали развитию фотографии и кинематографа и оказали влияние даже на робототехнику.

Polit.ru

Ремонт в новостройке: нормы, сроки, получение разрешений, график и согласование с застройщиком

Многие люди, приобретая новую квартиру в новостройке, сталкиваются с вопросом о том, когда лучше делать ремонт. Ответ на этот вопрос зависит от нескольких факторов, включая время, финансы и строительные нормы.

1 декабря в России будут отмечать День математика

Дата выбрана неслучайно. 1 декабря — день рождения русского математика Николая Лобачевского.

Стали известны планы Apple на выпуск складных девайсов

Издание 9to5Mac проанализировало недавний отчет аналитика Haitong International Securities Джеффа Пу, в котором раскрываются некоторые планы Apple о складных девайсах.